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Inviluppi dell'ellisse

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Inviluppi dell'ellisse
caso dell'angolo generico
metodo della polare
metodo della corrispondenza
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Metodo della podaria

Si chiama podaria di un punto P rispetto a una curva piana qualsiasi il luogo dei punti di incontro delle tangenti alla curva con le rette ad esse rispettivamente perpendicolari condotte per il punto P considerato.

Il modello fisico illustra il teorema seguente:

La podaria di uno dei fuochi d’una ellisse rispetto alla ellisse stessa è la circonferenza avente come diametro l’asse principale della curva.

Quindi, facendo scorrere il vertice di un angolo retto lungo una circonferenza mentre uno dei suoi lati è costretto a passare per un punto fisso P interno alla circonferenza, l’altro lato inviluppa una ellisse avente come asse principale il diametro della circonferenza utilizzata (e come fuoco il punto P).

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Lo strumento, è formato da due aste rigide aEe Et saldate insieme in modo da formare un angolo α di ampiezza prefissata (≠ π/2). L’asta aA (scanalata) è costretta a passare per il perno fisso A mentre il vertice Edell’angolo α percorre una scanalatura circolare s di centro C (delimitante un cerchio che contiene A). Quando E si muove lungo s la retta Et inviluppa (nel piano di s) una ellisse.

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Approfondimenti


OAPBQ è un inversore di Peaucellier, i punti A e B sono i punti medi delle aste PC e PD.Il punto P mediante l'asta PM è vincolato a percorrere la circonferenza γ di centro M e di raggio r>OM. L'asta CD che rappresenta la polare di P rispetto alla ciconferenza di centro O e raggio , inviluppa una ellisse.

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Tra i punti x’ e x di due punteggiate r ed r’ – materializzate nei modelli fisici da aste di legno che possono ruotare o traslare (nel piano da esse individuato) l’una rispetto all’altra – è stabilita una corrispondenza definita dalla relazione x'•x=k (*) con k = 1

I punti corrispondenti sono congiunti da rette (materializzate nel modello fisico con fili tesi). La (*) è evidentemente una proiettività. I fili tesi inviluppano una conica a centro, che potrà essere sia una ellisse che una iperbole (dipende dalla posizione relativa delle due rette e dal valore di k)

Il  modello fisico  illustra la generazione di una ellisse in quanto le rette r ed r' sono parallele.

 

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