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Equazioni di una prospettività



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Vogliamo determinare le relazioni tra le coordinate x' ed y' di un punto A' di π’ e le coordinate x ed y del punto A, immagine di A' su π. Fissiamo a tal fine un sistema di riferimeto cartesiano ortogonale su π’ ed uno su π come illlustrato in figura. Sia S il punto di vista e siano d' e d le distanze di S rispettivamente da π’ e π. Tracciamo la retta per S e per A' che interseca π in A. Da A tracciamo la perpendicolare  AP all'asse y. Avremo quindi che x=AP e y=OP. Analogamente su π’ avremo che x'=A'P' e y'=O'P'.

Si considerino ora i triangoli simili P'O'S e SOP. Si ha che:

P'O':d'=d:OP cioè   y':d'=d:y da cui

y=\frac{dd'}{y'}

Si considerino ora i triangoli simili O'P'A' e  O'LM. si ha che:

A'P':ML=P'O':LO' cioè   x':x=y':d da cui

x=d\frac{x'}{y'}

Riassumendo dato un punto di coordinate (x',y') su π’ la sua immagine prospettica su π ha coordinate (x,y) legate dalle semplici equazioni:

\left\{
 \begin{array}{c}
 x=\frac{dx'}{y'}\\
y=\frac{dd'}{y'}\\
 \end{array}\right.

Consideriamo ora nello spazio tridimensionale un riferimento cartesiano di origine O’ con asse z’ perpendicolare a π’. Un punto B’ in questo spazio avrà coordinate (x’,y’,z’).

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Per determinare le coordinate dell’immagine prospettica di B’ si può immaginare di innalzare il piano π’ alla quota z’. Il punto di vista S si viene così a trovare ad una distanza (d’- z’) da π’. Le equazioni della corrispondenza fra i punti dello spazio tridimensionale riferito al sistema (x',y',z') e quelli del piano π diventano:

\left\{
 \begin{array}{c}
 x=\frac{dx'}{y'}\\
y=\frac{d(d'-z')}{y'}\\
 \end{array}\right.

 

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