Macchine Matematiche

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Trasformations

 

Preliminary activities are needed in order to avoid that images and meanings tipical of the common language happen to be included in the semantic area of the term "tranformation", when this is used in a mathematical context.

For mathematicians, "transformation" is a technical term not necessarily related to time nor movement. ***

Siano date due regioni (figure) piane sovrapposte: i punti dell’una coincidano con i punti dell’altra, sicché le due regioni sono indistinguibili, identiche; per indicare coppie di punti sovrapposti si useranno notazioni del tipo (A, A’), (B, B’), ...ecc. (la presenza o l’assenza dell’apice individua la regione di appartenenza).

Una trasformazione è il risultato di un evento che ha separato le coppie inizialmente coincidenti, sicché i punti A, B, ...ecc. si trovano ora in posizioni diverse dai punti A’, B’ (corrispondenti od omologhi) benché i piani a cui le regioni inizialmente date appartengono siano ancora sovrapposti.

La nostra attenzione deve concentrarsi solamente sul risultato. Non importa quale evento si sia verificato, quanto tempo sia stato necessario: le due regioni vengono fotografate dopo che la trasformazione si è prodotta, e questa è caratterizzata dalle relazioni esistenti fra i punti omologhi (con lo stesso nome), cioè dalle proprietà della corrispondenza (biunivoca) fra i punti che sono rimasti immobili nella loro posizione iniziale e i punti prodotti dall’evento (immobili nella posizione finale). Se per separare i punti è stato usato un movimento o un’altra tecnica, ciò non ha alcuna importanza: il modo in cui la trasformazione è prodotta non interviene mai nella sua definizione (caratterizzazione).

 

Linkages implementing geometrical transformations. Fra le numerose tecniche per produrre trasformazioni prenderemo anzitutto in esame quella che si avvale di sistemi articolati o biellismi. Il meccanismo stabilisce una corrispondenza locale tra i punti di due regioni piane limitate sovrapposte collegandole fisicamente, e incorpora le medesime proprietà che caratterizzano la trasformazione. Lo studio dello strumento permetterà quindi di riconoscere il tipo di trasformazione che esso realizza: mentre il puntatore percorre una figura geometrica disegnata su una delle due regioni sovrapposte, il tracciatore disegna sull’altra la figura corrispondente (trasformata). Puntatore e tracciatore possono essere scambiati fra loro (biunivocità della corrispondenza). Oppure, il sistema articolato possiede due puntatori dotati ognuno di due gradi di libertà: non è nota alcuna figura iniziale, le figure che i puntatori disegnano contemporaneamente (le regioni che essi “ricoprono” durante il movimento) si corrispondono in una trasformazione.

 

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