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Dandelin's theorem

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Dandelin's theorem
Iperbole
Ellisse
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Parabola


 


"Esistono due sfere iscritte in una superficie conica rotonda e tangenti ad un piano π(che la interseca e non passa per il vertice) se l’angolo θ della superficie conica (angolo acuto costante fra l’asse della superficie e una delle sue generatrici) non è uguale all’angolo φ formato dall’asse della superficie col piano π : in questo caso il piano π individua sulla superficie conica una ellisse oppure una iperbole. Se invece θ = φ(caso della parabola) esiste una sola sfera tangente a π. I punti di contatto delle sfere inscritte nella superficie conica e tangenti al piano πdella sezione si dicono fuochi della conica. Si chiama direttrice corrispondente ad un fuoco la retta comune a πe al piano che passa per il circolo di contatto della superficie conica con la sfera iscritta corrispondente al fuoco stesso. Quindi mentre ogni ellisse ed ogni iperbole ha due fuochi e due direttrici, ogni parabola ha un solo fuoco e una unica direttrice."

 

In the picture, VAB is the axial triangle obtained by cutting the cone with a plane containing the axis, circumference γ is the intersection between this same plane and the Dandelin's sphere, straight line cc is the intersection between the plane containing the triangle and the plane containing the cone-sphere contact circle (the dashed part is the diameter of the circle), straigt line ss is the intersection between the plane containing the triangle and the plane containing the cone section (the segment inside the triangle is the parabola's axis), F is the parabola's focus, running through D, perpendicularly to the plane containing the triangle, is the parabola's directrix.

 

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