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Teorema di Dandelin

Indice
Teorema di Dandelin
Iperbole
Ellisse
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Parabola


 


"Esistono due sfere iscritte in una superficie conica rotonda e tangenti ad un piano π(che la interseca e non passa per il vertice) se l’angolo θ della superficie conica (angolo acuto costante fra l’asse della superficie e una delle sue generatrici) non è uguale all’angolo φ formato dall’asse della superficie col piano π : in questo caso il piano π individua sulla superficie conica una ellisse oppure una iperbole. Se invece θ = φ(caso della parabola) esiste una sola sfera tangente a π. I punti di contatto delle sfere inscritte nella superficie conica e tangenti al piano πdella sezione si dicono fuochi della conica. Si chiama direttrice corrispondente ad un fuoco la retta comune a πe al piano che passa per il circolo di contatto della superficie conica con la sfera iscritta corrispondente al fuoco stesso. Quindi mentre ogni ellisse ed ogni iperbole ha due fuochi e due direttrici, ogni parabola ha un solo fuoco e una unica direttrice."

 

In figura VAB rappresenta il triangolo assiale, ottenuto tagliando il cono con un piano contenente l’asse. La circonferenza γ è l’ intersezione tra tale piano e la sfera di Dandelin. La retta cc è l’ intersezione tra il piano del triangolo per l’asse e il piano del circolo di contatto sfera-cono. La parte tratteggiata è il diametro del circolo di contatto. La retta ss è l’intersezione tra il piano del triangolo per l’asse e il piano della sezione conica. La parte di questa retta interna al triangolo è l’asse della parabola. F è il fuoco della parabola. Dal punto D si stacca (perpendicolarmente al piano del triangolo per l’asse) la direttrice della parabola.

 

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