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Teorema di Dandelin - Ellisse

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Teorema di Dandelin
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Ellisse


 


La conica, lungo cui un cono rotondo è segato da un piano, ha i fuochi nei punti ove il piano è toccato da sfere iscritte nel cono; direttrici della conica sono le rette intersezione tra il piano secante e il piano del cerchio di contatto sfera-cono (Dandelin - Quetelet, 1822). Nel caso della ellisse (rappresentato nel modello esposto) esistono due sfere siffatte: una di esse sta dalla banda del vertice rispetto al piano della conica, e l'altra dalla banda opposta. La definizione di fuoco d'una sezione del cono rotondo, che dal teorema si ricava, conduce (in base alle note proprietà delle tangenti condotte da un punto a una sfera) a stabilire, per via elementare, le principali proprietà dei fuochi di una conica. In una epoca in cui la maggior parte degli studi sulle coniche (in quanto curve generate entro lo spazio a tre dimensioni) viene effettuata nell'ambito della geometria proiettiva, Dandelin e Quetelet tornano per così dire alle origini, alle schematizzazioni proprie della geometria classica, ottenendo nuove proprietà, sfuggite all'attenzione dei ricercatori precedenti. Però, con una notevole differenza: benchè infatti l'enunciato del teorema sia "statico" (come il modello che lo illustra), le ricerche di Quetelet e Dandelin risultano legate alla geometria del movimento: precisamente allo studio delle "curve focali" (strofoidi), che sono quelle descritte dai fuochi di una ellisse quando il piano secante ruota attorno ad una delle due rette (in esso contenute) tangenti al cono.

In figura VAB rappresenta il triangolo assiale, ottenuto tagliando il cono con un piano contenente l’asse.

Le circonferenze Υ e φ sono le intersezioni tra tali piani e le sfere di Dandelin. Le rette cc sono le intersezioni tra il piano del triangolo per l’asse e il piano dei circoli di contatto sfera-cono (due in questo caso). Le parti tratteggiate sono i diametri dei circoli di contatto. La retta ss è l’intersezione tra il piano del triangolo per l’asse e il piano della sezione conica. La parte tratteggiata è l’asse maggiore dell’ellisse. F e G sono i fuochi dell’ellisse. Dai punti D ed E si staccano (perpendicolarmente al piano del triangolo per l’asse) le direttrici della ellisse relative ai fuochi

 

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